Родился 30 января 1889 г. в г. Горна-Ореховица (Болгария).
В качестве стипендиата Министерства просвещения поехал в Петербург, в 1914 г. закончил Восточный факультет Петроградского университета по специальности арабско-персидские и турецко-татарские языки и литературы. Был назначен на должность драгомана (переводчика) в Бейрут при болгарском консульстве, но начавшаяся Первая мировая война заставила его остаться в Софии, работал в Национальной библиотеке Болгарии в Восточном отделе.
В марте 1915 г. приехал в Петроград, поскольку у него там была невеста (Мария Йосифовна). В 1916 г. жил в Петрограде, занимался исследованием восточных рукописей под руководством И. Ю. Крачковского, написал статью о восточных рукописях, находящихся в Софийской библиотеке.
Со вступлением Болгарии в Первую мировую войну на стороне Германии (1916) А. Шишманов с женой оказались на территории России как гражданские пленники. В 1918 г. чета уезжает из Петрограда в имение родителей Марии недалеко от г. Полоцка и советско-польской границы. Там они жили безвыездно до 1930 г., затем последовала высылка на поселение в Архангельскую обл., с 1932 г. — в Вологде. В 1934 г. Болгария и СССР заключают дипломатические отношения, Шишмановым удалось получить паспорт от болгарского посольства в Варшаве. В Москве в болгарском посольстве Шишманов был привлечен на службу, в сентябре 1937 г. подвергся аресту ГПУ. В итоге советские власти потребовали его экстернирования, и 7 декабря 1937 года он с женой выехал в Болгарию. По возвращении на родину А. Шишманов продолжал работать в Министерстве иностранных дел в Отделе печати в должности редактора по польской и русской печати. В 1944 г. был откомандирован в Стокгольме, в мае 1945 г. приказом Министерства иностранных дел он, как и весь персонал посольства, был освобожден от должности. На родину не вернулся. Известен в Болгарии своими переводами произведений шведскоязычных финляндских писателей.
26 июня 2024 г. (среда) в 14:00 состоится заседание Ученого Совета, на котором будет заслушан доклад г.н.с., д.филос.н. Е.П. Островской «Буддийская картина мира в санскритских экзегетических источниках».
